Question

在直角坐標系中，⊙O₁經過坐標原點O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B.

(1)如圖24-2-2-12，過點A作⊙O₁的切線與y軸交于點C，點O到直線AB的距離為，=，求直線AC的解析式;

(2)若⊙O₁經過點M(2，2)，設△BOA的內切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發生變化?如果不變，求出其值;如果變化，求其變化的范圍.

圖24-2-2-12

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：由切線的性質和勾股定理可求出A、C兩點的坐標，這樣直線AC的解析式可求. 解：(1)如圖，過O作OG⊥AB于G，則OG=， 設OA=3k(k>0)， ∵∠AOB=90°，=， ∴AB=5k，OB=4k. ∵OA·OB=AB·OG=2S△AOB， ∴3k×4k=5×. ∴k=1. ∴OA=3，OB=4，AB=5. ∴A(3，0). ∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙O1的直徑. ∵AC切⊙O1于A， ∴BA⊥AC. ∴∠BAC=90°. 在Rt△ABC中，∵=， ∴BC=. ∴OC=BC-OB=. ∴C(0，- ). 設直線AC的解析式為y=kx+b，則 ∴k=，b=-. ∴直線AC的解析式為y=x-. (2)結論：d+AB的值不會發生變化， 設△AOB的內切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，如圖所示. ∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=. ∴BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-. ∴AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d. 則d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB. 在x軸上取一點N，使AN=OB，連結OM、BM、AM、MN. ∵M(2，2)，∴OM平分∠AOB. ∴OM=2. ∴∠BOM=∠MON=45°. ∴AM=BM. 又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN， ∴△BOM≌△ANM. ∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON. ∴OA+OB=OA+AN=ON==×OM=×2=4. ∴d+AB的值不會發生變化，其值為4.