Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，點A的縱坐標為2，點B在x軸的負半軸上，AB=AO，∠ABO=30°，直線MN經過原點O，點A關于直線MN的對稱點A₁在x軸的正半軸上．
（1）求點B關于直線MN的對稱點B₁的橫坐標；
（2）求證：AB+BO=AB₁．

Answer 1

分析 （1）過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，根據點A的縱坐標為1求出AO=2，OC=2$\sqrt{3}$，BO=4$\sqrt{3}$=OB₁，根據∠B₁DO=90°和∠DOB₁=30°求出OD即可；
（2）根據軸對稱得出線段AB₁線段A₁B關于直線MN對稱，求出AB₁=A₁B，根據A₁B=A₁O+BO和A₁O=AO推出即可．

解答 解：（1）如圖，過A作AC⊥x軸于C，過B₁作BD⊥x軸于D，

∵點A的縱坐標為2，
∴AC=2，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴AO=2，OC=2$\sqrt{3}$，BO=4$\sqrt{3}$=OB₁，
∵∠B₁DO=90°，∠DOB₁=30°，
∴B₁D=$\sqrt{3}$，OD=2$\sqrt{3}$B₁D=6，
∴點B關于直線MN的對稱點B₁的橫坐標3；
（2）∵A關于直線MN的對稱點A₁在x軸的正半軸上，點B關于直線MN的對稱點為B₁，
∴線段AB₁線段A₁B關于直線MN對稱，
∴AB₁=A₁B，
而A₁B=A₁O+BO，A₁O=AO，
∴AB₁=AO+BO．

點評 本題考查了含30度角的直角三角形性質，軸對稱性質，線段垂直平分線性質，勾股定理的應用，解決本題的關鍵是作出輔助線．