Question

如圖，拋物線y=

3

3

 x2+

2

3

3

x-

3

交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）把△ABC繞AB的中點M旋轉180°，得到四邊形AEBC，求E點的坐標；
（3）試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求A、B、C的坐標，這點分別在x軸和y軸上，當x=0或y=0時就可以求出其坐標．
（2）作EF⊥AB于F，可以證明△AFE≌△BOC，得到線段相等，利用線段EF=OC，從而得到點E的坐標．
（3）根據旋轉很容易得出四邊形AEBC是平行四邊形，利用勾股定理的逆定理證明三角形ABC是直角三角形，從而判斷四邊形AEBC是矩形．

解答：解：（1）當y=0時，

3

3

x2+

2

3

3

x -

3

=0，
解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），
當x=0時，
y=-

3

，
∴C（0，-

3

），
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-

3

）；

（2）由（1）可知AO=3，BO=1，CO=

3

，
作EF⊥AB于F，
∠AFE=∠COB=90°，
∵△ABE是由△ABC旋轉180°得到的．
∴AE=BC，∠BAE=∠ABD，
∴△AFE≌△BOC，
∴EF=OC，AF=OB，
∴EF=

3

，AF=1，
∴OF=2，
∴E（-2，

3

）；

（3）四邊形AEBC是矩形．
證明：在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理得：
AC=

32+( 3 )2

，BC=

12+( 3 )2

，
∴AC=2

3

，BC=2，
∴AC²=12，BC²=4，
∴AC²+BC²=16，
∵AB²=16，
∴AC²+BC²=AB²
∴∠ACB=90°，
∵四邊形AEBC是由三角形ABC繞AB的中點M旋轉180°得到的，
∴四邊形AEBC是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形AEBC是矩形．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了圖形的旋轉，全等三角形，勾股定理逆定理的運用以及根據解析式求函數與x軸及y軸的交點坐標．