Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AD與拋物線y=-x²+bx+c交于A（-1，0）和D（2，3）兩點，點C、F分別為該拋物線與y軸的交點和頂點．
（1）試求b、c的值和拋物線頂點F的坐標；
（2）求△ADC的面積；
（3）已知，點Q是直線AD上方拋物線上的一個動點（點Q與A、D不重合），在點Q的運動過程中，有人說點Q、F重合時△AQD的面積最大，你認為其說法正確嗎？若你認為正確請求出此時△AQD的面積，若你認為不正確請說明理由，并求出△AQD的最大面積．

Answer 1

解：（1）∵拋物線過點A、D，
∴，
∴b=2，c=3，C（0，3），
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴頂點F（1，4）；

（2）如圖1，∵直線AD也過A、D兩點，
∴，
∴k=1，b=1，
∴直線AD的解析式為y=x+1，直線AD與y軸的交點E為（0，1），
則CE=3-1=2，
又∵點A、D分別到y軸的距離為1，2，
∴S_△ADC=S_△ACE+S_△DCE=×1×2+×2×2=3；

（3）其說法不正確．
如圖2，過Q作QP∥y軸交直線AD于P，則Q（x，-x²+2x+3），P（x，x+1），
∴PQ=-x²+2x+3-x-1=-x²+x+2，
又∵點A、D分別到直線PQ的距離和為3．
∴S_△AQD=S_△AQP+S_△DQP=×PQ×3=×（-x²+x+2）×3=-x²+x+3，
S_△AQD=-（x-）²+，
∴當x=時，S_△AQD的最大值是，
又∵F（1，4），當x=1時，代入直線AD的解析式y=x+1得：y=2，
∴S_△APD=×3×（4-2）=3，
∵＞3，
∴點Q、F重合時△AQD的面積最大的說法不正確，△AQD面積的最大值為．
分析：（1）把A、D的坐標代入即可求出拋物線的解析式，根據解析式求出頂點坐標即可；
（2）求出直線AD的解析式，求出直線AD于y軸的交點坐標，即可求出三角形面積；
（3）過Q作QP∥y軸交直線AD于P，則Q（x，-x²+2x+3），P（x，x+1），求出PQ═-x²+x+2，根據點A、D分別到直線PQ的距離和為3和S_△AQD=S_△AQP+S_△DQP代入求出△AQD的面積，再求出△APD的面積，比較即可．
點評：本題考查了用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，三角形的面積，函數與坐標軸的交點坐標的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力．