Question

如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩側，池塘西邊有一座假山D，在DB的中點C處有一個雕塑，張倩從點A出發，沿直線AC一直向前經過點C走到點E，并使CE=CA，然后她測量點E到假山D的距離，則DE的長度就是A、B兩點之間的距離．
（1）你能說明張倩這樣做的根據嗎？
（2）如果張倩恰好未帶測量工具，但是知道A和假山、雕塑分別相距200米、120米，你能幫助她確定AB的長度范圍嗎？
（3）在第（2）問的啟發下，你能“已知三角形的一邊和另一邊上的中線，求第三邊的范圍嗎？”請你解決下列問題：在△ABC中，AD是BC邊的中線，AD=3cm，AB=5cm，求AC的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在△ABC和△EDC中，

∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB=DE．

（2）∵AE-AD＜DE＜AD+AE，
又∵AC=CE=120，AB=DE，AD=200，
∴240-200＜DE＜200+240，
即40米＜DE＜440米，
∴40米＜DE＜440米．

（3）如圖，延長AD至E使DE=AD，連接EC；
根據（1）（2），∴AE-EC＜AC＜CE+AE，
∴6-5＜AC＜6+5，
即1cm＜AC＜11cm．
分析：（1）根據題意只要證明△ABC≌△EDC即可證明DE=AB；
（2）確定AB的長度就是確定DE的長度，由題意可列出關系式AE-AD＜DE＜AD+AE，然后代入數據即可求出；
（3）先由題意畫出圖形，然后做AD的延長線，使DE=AD，再連接EC，根據（1）（2）可列出關系式AE-CE＜AC＜CE+AE，再代入數據即可求得．
點評：本題考查了全等三角形的應用；解決此題的關鍵是找全等三角形，根據全等三角形的性質來判定三角形全等，繼而求出對應邊相等，然后再根據三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的性質來求邊的取值范圍．