Question

已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動點M從A點出發，以每秒一個單位長度的速度沿AB向點B運動，同時動點N從C點出發，以每秒2個單位長度的速度沿CO向O點運動。當其中一個動點運動到終點時，兩個動點都停止運動。

（1）求B點坐標；

（2）設運動時間為t秒。

①當t為何值時，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；

②當t為何值時，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積。

③若另有一動點P，在點M、N運動的同時，也從點A出發沿AO運動。在②的條件下，PM＋PN的長度也剛好最小，求動點P的速度。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解（1）作BD⊥OC于D，則四邊形OABD是矩形，

∴OD=AB=10  ∴CD=OC－OD=12   ∴OA=BD==9  ∴B（10，9）

（2）①由題意知：AM=t，ON=OC－CN=22－2t    ∵四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半 ∴   ∴t=6

②設四邊形OAMN的面積為S，則 

∵0≤t≤10，且s隨t的增大面減小 ∴當t=10時，s最小，最小面積為54。

③如備用圖，取N點關于y軸的對稱點N^/，連結MN^/交AO于點P，此時PM＋PN=PM＋PN^/=MN長度最小。

當t=10時，AM=t=10=AB，ON=22－2t=2 

∴M（10，9），N（2，0）∴N^/（－2，0）  

設直線MN^/的函數關系式為，則

  解得                     

∴P（0，）   ∴AP=OA－OP=  

∴動點P的速度為個單位長度/ 秒  

【解析】（1）由題意可以先構造矩形OABD，然后根據勾股定理進行求解；

（2）是動點型的題要設好未知量：

①AM=t，ON=OC-CN=22-2t，根據四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半，列出等式求出t值；

②設四邊形OAMN的面積為S，用t表示出四邊形OAMN的面積，根據二次函數的性質求出最值；

③由題意取N點關于y軸的對稱點N′，連接MN′交AO于點P，此時PM+PN=PM+PN′=MN長度最小，表示出點M，N，N′的坐標，設直線MN′的函數關系式為y=kx+b，最后待定系數法進行求解．