Question

【題目】如圖1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），試探索AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論．小明同學的思路是這樣的：將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE，連接EC，DE．繼續推理就可以使問題得到解決．

（1）請根據小明的思路，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為△ABC外的一點，且∠ADC＝45°，線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系又是如何的，請證明你的結論；

（3）如圖3，已知AB是⊙O的直徑，點C，D是⊙O上的點，且∠ADC＝45°．

①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的長為　 　；

②若AD+BD＝14，求的最大值，并求出此時⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）CD2+BD2＝2AD2，見解析；（2）BD2＝CD2+2AD2，見解析；（3）①7，②最大值為，半徑為

【解析】

（1）先判斷出∠BAD＝CAE，進而得出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，∠B＝∠ACE，再根據勾股定理得出DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，即可得出結論；

（2）同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再用勾股定理的出DE2＝2AD2，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即可得出結論；

（3）先根據勾股定理的出DE2＝CD2+CE2＝2CD2，再判斷出△ACE≌△BCD（SAS），得出AE＝BD，

①將AD＝6，BD＝8代入DE2＝2CD2中，即可得出結論；

②先求出CD＝7，再將AD+BD＝14，CD＝7代入，化簡得出﹣（AD﹣）2+，進而求出AD，最后用勾股定理求出AB即可得出結論．

解：（1）CD2+BD2＝2AD2，

理由：由旋轉知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，

在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

根據勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，

在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，

∴CD2+BD2＝2AD2；

（2）BD2＝CD2+2AD2，

理由：如圖2，

將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE，連接EC，DE，

同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，

∴∠ADE＝45°，

∴DE2＝2AD2，

∵∠ADC＝45°，

∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，

根據勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，

即：BD2＝CD2+2AD2；

（3）如圖3，過點C作CE⊥CD交DA的延長線于E，

∴∠DCE＝90°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，

∴CD＝CE，

根據勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，

連接AC，BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠BDC＝45°＝∠ADC，

∴AC＝BC，

∵∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，

①AD＝6，BD＝8，

∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，

∴2CD2＝142，

∴CD＝7，

故答案為7；

②∵AD+BD＝14，

∴CD＝7，

∴＝AD（BD+×7）＝AD（BD+7）

＝ADBD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣）2+，

∴當AD＝時，的最大值為，

∵AD+BD＝14，

∴BD＝14﹣＝，

在Rt△ABD中，根據勾股定理得，AB＝，

∴⊙O的半徑為OA＝AB＝．