Question

已知：如圖，AB和AC與⊙O相切于B、C，P是⊙O上一點，且PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F．
求證：PD²=PE•PF．

Answer 1

分析：先連接PB、DE，以及連接PC、DF，根據DP⊥BC，PE⊥AE，可證四點P、D、B、E共圓，同理，四點P、D、C、F共圓，可利用圓周角的性質，分別得出兩組角相等，結合弦切角的性質，也可得出兩組角相等，利用等量代換，可證∠1=∠2，∠PED=∠PDF，從而可證三角形相似，再利用相似三角形的性質，可得比例線段，那么此題得證．

解答：證明：
∵PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F，
∴四點D、B、E、P共圓，四點C、D、P、F共圓，（2分）
連接PB、DE則∠1=∠3，∠5=∠PED，（1分）
連接PC、DF，則∠2=∠4，∠6=∠PDF，（1分）
∵AB、AC是⊙O的切線，B、C是切點，
∴∠3=∠4，∠5=∠6．（1分）
∴∠1=∠2，∠PED=∠PDF．（1分）
∴△PED∽△PDF．（1分）
∴

PD

PF

=

PE

PD

，即PD²=PF•PE．（1分）

點評：本題利用了切線的性質、弦切角的性質、四點共圓的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識．