Question

如圖，⊙O的半徑為

3

，正三角形ABC的頂點B的坐標為（2，0），頂點A在⊙O上運動．
（1）當點A在x軸上時，求點C的坐標；
（2）點A在運動過程中，是否存在直線AB與⊙O相切的位置關系？若存在，請求出點C的坐標；
（3）設點A的橫坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求出S的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）需要分兩種情況討論，①點A在x軸負半軸，②點A在x軸的正半軸，根據等邊三角形的性質可得出點C的坐標．
（2）根據題意畫出圖形，①點A在上半圓上，②點A在下半圓上，

解答：（1）解：

（1）當點A的坐標為（

3

，0）時，可得等邊三角形的邊長=2-

3

，
由等邊三角形的性質可得C₁D=

2 3 -3

2

，A₁D=

2- 3

2

，
故可得點C₁的坐標為（

2+ 3

2

，

2 3 -3

2

）；
同理：當點A的坐標為（-

3

，0）時，點C₂的坐標為（

2- 3

2

，

2 3 +3

2

）；
（2）連接OA，

①當A點在x軸上方時，
∵直線AB與⊙O相切，
∴OA₁⊥AB，
∴∠OAB=90°，OB=2，OA₁=

3

，
∴sin∠OBA₁=

3

2

，A₁B=BC₁=1，
∴∠OBA₁=60°，
∴∠CBx=60°，
∴C1E=

3

2

，BE=

1

2

，
∴點C的坐標（

5

2

，

3

2

）．
②當A點在x軸下方時，
∵∠OBA=60°，
∴C點在x軸上，
∴點C的坐標為（2-

3

，0）
（3）過點A作AE⊥OB于點E，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=3-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（3-x²）+（ 2-x）²=7-4x，
故S=

3

4

AB2=

3

4

(7-4x)=-

3

x+

7 3

4

，
其中-

3

≤x≤

3

，
當x=-

3

時，S的最大值為3+

7 3

4

，
當x=

3

時，S的最小值為-3+

7 3

4

．

點評：此題考查了切線的性質、一次函數的性質、等邊三角形的性質及勾股定理的知識，綜合考察的知識點較多，關鍵是仔細審題，仔細、逐步解答，難度較大．