Question

有一個矩形ABCD，A在原點，C在的圖象上，如圖（1），AB=8．矩形ABCD沿射線AC的方向以每秒1的速度平移，同時，一個動點P從B點出發以每秒1的速度沿平移中的矩形的邊B-C-D運動．
（1）求平移中的矩形ABCD的對稱中心K到原點的距離y關于運動時間t（秒）的函數關系式；
（2）求運動時間為5秒時P點的坐標；
（3）若作PM⊥x軸，PN⊥y軸，是否在某一時刻，使矩形OMPN與矩形ABCD相似？若有，求出來；若沒有，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵C在的圖象上，AB=8，
∴AC=10，所以矩形ABCD的對稱中心即對角線的交點到原點的距離為5．
又因矩形ABCD沿射線AC的方向以每秒1的速度平移，
所以平移中的矩形ABCD的對稱中心K到原點的距離y關于運動時間t（秒）的函數關系式y=t+5；

（2）運動時間為5秒時A的坐標為（4，3），又因此時P在線段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5），
即P（12，8）；

（3）設運動時間為t秒．
當0≤t≤6時，（P在BC上）時，t=6；
時，t=20（舍）．
當6≤t≤14時，（P在CD上）時，t=6；
時，t=（舍）．
因此，只有t=6時矩形OMPN與矩形ABCD相似．
分析：（1）根據題意先求出初始距離，再求移動到某一位置時到原點的距離；
（2）運動時間為5秒時A的坐標為（4，3），又因此時P在線段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5）；
（3）因為某一時刻，矩形OMPN與矩形ABCD相似，所以可設運動時間為t秒，因為動點P從B點出發以每秒1的速度沿平移中的矩形的邊B-C-D運動，所以需分情況討論．
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形的性質來解決問題，但應注意解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．