Question

已知：關于x的一元二次方程kx²+2x+2-k=0．
（1）若原方程有實數根，求k的取值范圍；
（2）設原方程的兩個實數根分別為x₁，x₂．
①當k取哪些整數時，x₁，x₂均為整數；
②利用圖象，估算關于k的方程x₁+x₂+k-1=0的解．

Answer 1

分析：（1）根據根的判別式列出不等式，變形為完全平方式知△≥0，二次項系數≠0，得出k的取值范圍．
（2）利用求根公式求出一元二次方程的兩根，兩根均為整數得出k的整數值，把兩根代入得出關于k的方程，轉化成一次函數和反比例函數作出圖象，找出交點坐標．

解答：解：（1）∵一元二次方程kx²+2x+2-k=0有實數根，
∴

k≠0 22-4×k×(2-k)≥0

，
∴

k≠0 (k-1)2≥0

，
∴當k≠0時，一元二次方程kx²+2x+2-k=0有實數根．

（2）①由求根公式，得x=

-1±(k-1)

k

．
∴x1=

k-2

k

=1-

2

k

，x₂=-1，
要使x₁，x₂均為整數，

2

k

必為整數，
所以，當k取±1或±2時，x₁，x₂均為整數；
②將x1=1-

2

k

，x₂=-1代入方程x₁+x₂+k-1=0中，得

2

k

=k-1．
設y1=

2

k

，y₂=k-1，并在同一平面直角坐標系中分別畫出y1=

2

k

與y₂=k-1的圖象（如圖所示）．
由圖象可得，關于k的方程x₁+x₂+k-1=0的解為k₁=-1，k₂=2．

點評：考查一元二次方程根的判別式及求根公式，一次函數和二次函數的作圖．