Question

（1）AB、CD是過⊙O內一點P的兩條相交弦，請問PA•PB與PC•PD有何關系并說明理由；
（2）若點P在⊙O外，上述結論還成立嗎？并說明理由；
（3）若點P在⊙O外，并且A與B重合，PA與⊙O切于點A，結論如何并說明理由．

Answer 1

解：（1）有PA•PB=PC•PD成立，
因為連接AC，BD，則∠A=∠D，∠B=∠C，
所以△APC∽△DPB，得到PA•PB=PC•PD．

（2）成立，連接AC，BD，則∠PAC=∠D，∠PCA=∠D．
即△PAD∽△PCB，得到PA•PB=PC•PD．

（3）有PA²=PC•PD成立，
因為PA與⊙O切于點A，
所以∠PAC=∠D，又∠P=∠P，
所以△PAC∽△PDA．
所以PA²=PC•PD．
分析：（1）可以把要探求的四條線段構造到兩個三角形中，根據同弧所對的圓周角相等得到兩個角對應相等，從而得到相似三角形，再進一步進行探求證明；
（2）同樣構造兩個三角形，根據圓內接四邊形的外角等于它的內對角，再根據兩角對應相等，得到兩個相似三角形，從而進一步探求；
（3）根據弦切角定理得到角相等，進一步得到兩個相似三角形，從而證明結論．
點評：本題主要考查的了相似三角形判定和性質的應用，上述三個結論實際上分別是相交弦定理、割線定理、切割線定理，掌握它們的證明方法及其運用．