【題目】定義:數學活動課上,李老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為“智慧三角形”.
理解:(1)如圖,已知
是⊙
上兩點,請在圓上找出滿足條件的點
,使
為“智慧三角形”(畫出點
的位置,保留作圖痕跡);
(2)如圖,在正方形
中,
是
的中點,
是
上一點,且
,試判斷
是否為“智慧三角形”,并說明理由;
運用:(3)如圖,在平面直角坐標系
中,⊙
的半徑為
,點
是直線
上的一點,若在⊙
上存在一點
,使得
為“智慧三角形”,其面積的最小值為______.
【答案】
【解析】分析:(1)連結AO并且延長交圓于C1,連結BO并且延長交圓于C2,即可求解;
(2)設正方形的邊長為4a,表示出DF、CF以及EC、BE的長,然后根據勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性質可得△AEF為“智慧三角形”;
(3)根據“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,根據題意可得一條直角邊為1,當斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據勾股定理可求另一條直角邊,再根據三角形面積可求斜邊的高,即點P的橫坐標,再根據勾股定理可求點P的縱坐標,從而求解.
詳解:(1)如圖1所示:
(2)△AEF是否為“智慧三角形”,
理由如下:設正方形的邊長為4a,
∵E是DC的中點,
∴DE=CE=2a,
∵BC:FC=4:1,
∴FC=a,BF=4a﹣a=3a,
在Rt△ADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,
在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,
在Rt△ABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,
∴AE2+EF2=AF2,
∴△AEF是直角三角形,
∵斜邊AF上的中線等于AF的一半,
∴△AEF為“智慧三角形”;
(3)如圖3所示:
由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,
根據題意可得一條直角邊為1,當斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,
由垂線段最短可得斜邊最短為3,
由勾股定理可得PQ=,
PM=1×2÷3=
,
面積的最小值為: .
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,中,
且
是
的中點
(1)求證:四邊形是平行四邊形。
(2)求證:四邊形是菱形。
(3)如果時,求四邊形ADBE的面積
(4)當 度時,四邊形
是正方形(不證明)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知:在中,
,點
為直線
上一動點(點
不與
重合).以
為邊作正方形
,連接
.
(1)如圖1,當點在線段
上時,求證:
.
(2)如圖2,當點在線段
的延長線上時,其他條件不變,請直接寫出
三條線段之間的關系;
(3)如圖3,當點在線段
的反向延長線上時,且點
分別在直線
的兩側.其他條件不變,若連接正方形對角線
,交點為
,連接
,探究
的形狀,并說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠A=30°,點P從點A出發以2cm/s的速度沿折線A﹣C﹣B運動,點Q從點A出發以a(cm/s)的速度沿AB運動,P,Q兩點同時出發,當某一點運動到點B時,兩點同時停止運動.設運動時間為x(s),△APQ的面積為y(cm2),y關于x的函數圖象由C1,C2兩段組成,如圖2所示.
(1)求a的值;
(2)求圖2中圖象C2段的函數表達式;
(3)當點P運動到線段BC上某一段時△APQ的面積,大于當點P在線段AC上任意一點時△APQ的面積,求x的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊,點C落在點E處,BE交AD于點F,連接AE.
求證:(1)BF=DF;
(2)若AB=6,AD=8,求BF的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,等腰直角三角形的直角頂點
在坐標原點,點
的坐標為
,求點
的坐標.
(2)依據(1)的解題經驗,請解決下面問題:
如圖2,點,
兩點均在
軸上,且
,分別以
為腰在第一、第二象限作等腰
,
連接
,與
軸交于點
的長度是否發生改變?若不變,求
的值;若變化,求
的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】定義:數學活動課上,李老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為“智慧三角形”.
理解:(1)如圖,已知
是⊙
上兩點,請在圓上找出滿足條件的點
,使
為“智慧三角形”(畫出點
的位置,保留作圖痕跡);
(2)如圖,在正方形
中,
是
的中點,
是
上一點,且
,試判斷
是否為“智慧三角形”,并說明理由;
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中,⊙
的半徑為
,點
是直線
上的一點,若在⊙
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