Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長為6cm，點F從點B出發，沿射線AB方向以1cm/秒的速度移動，點E從點D出發，向點A以1cm/秒的速度移動（不到點A）．設點E，F同時出發移動t秒．

（1）在點E，F移動過程中，連接CE，CF，EF，則△CEF的形狀是 ，始終保持不變；

（2）如圖2，連接EF，設EF交BD于點M，當t=2時，求AM的長；

（3）如圖3，點G，H分別在邊AB，CD上，且GH=cm，連接EF，當EF與GH的夾角為45°，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）；（3）3．

【解析】

試題（1）判斷三角形CDE和三角形CBF全等是解題的關鍵；（2）此題過點E作EN∥AB，交BD于點N，證明△EMN≌△FMB，得出EM=FM，于是AM是直角三角形AEF斜邊EF中線，只要求出EF長，AM長就求出來了；（3）設EF與GH交于P，連接CE，CF，若∠EPH=45°，前面已證∠EFC=45，顯然GH∥CF，又有AF∥DC，可判斷四邊形GFCH是平行四邊形，CF=GH=，在Rt△CBF中，用勾股定理求出BF長，即t值求出．

試題解析：（1）∵點E，F的運動速度相同，且同時出發移動t秒，∴DE=BF=t，又∵CD=CB，∠CDE=∠CBF，∴△CDE≌△CBF，∴CE=CF，∠DCE=∠BCF，∠ECF=∠ECB＋∠BCF=∠ECB＋∠DCE=90，∴△CEF的形狀是等腰直角三角形；（2）先證△EMN≌△FMB，過點E作EN∥AB，交BD于點N，∴∠END=∠ABD=∠EDN=45°， ∴EN="ED=BF=2" ，可證△EMN≌△FMB（AAS），∴EM=FM，Rt△AEF中，AE=4，AF=6+2=8，EF=，∴AM=EF=．（3）連接CE，CF，設EF與GH交于P，由（1）得∠CFE=45°，又∠EPH=45°，∴GH∥CF，又AF∥DC， ∴四邊形GFCH是平行四邊形 ，∴CF=GH=，在Rt△CBF中，得BF=3，∴t=3．