Question

【題目】是的平分線上一點，，，、是垂足，連接交于點．

（）若，求證：是等邊三角形．

（）若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先由角平分的性質得出ED=EC，再結合OE=OE不難證明△ODE≌△OCE，由此得出OD=OC，又因為∠AOB=60°，所以證明△OCD是等邊三角形；（2）由（1）△OCD是等腰三角形，OE平分∠AOB得出OE⊥CD，DF=CF，再求出∠DEC的度數為90°，繼而得出EF=CD，已知EF求出CD，最后利用勾股定理求出OD即可.

試題解析：

（）∵OE平分∠AOB，ED⊥OA與D，EC⊥OB與C，

∴ED=EC，

再Rt△ODE和Rt△OCE中，

,

∴△ODE≌△OCE（HL），

∴OD=OC，

∴△OCD是等腰三角形，

∵∠AOB=60°，

∴△OCD是等邊三角形；

（）

由（1）可知，△OCD是等腰三角形，OE平分∠AOB，

∴OE⊥CD，DF=CF，

∵∠AOB=90°，∠ODE=90°，∠OCE=90°，

∴∠DEC=90°，

∴EF=CD，

∵EF=5，

∴CD=10，

∵在Rt△OCD中，OD2+OC2=CD2，即2OD2 =CD2，

∴OD=5.