Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AC=2AB，將矩形ABCD繞點A旋轉得到矩形AB′C′D′，使點B的對應點B'落在AC上，B'C'交AD于點E，在B'C′上取點F，使B'F=AB．

（1）求證：AE=C′E．

（2）求∠FBB'的度數．

（3）已知AB=2，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠FBB′=15°；（3）BF=+．

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折疊的性質得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；

（2）由（1）得△ABB′為等邊三角形，求出∠B B′F=150°，再由B′F = BB′得到∠FB B′=∠BF B′，最后由三角形內角和得到∠FB B′=15°；

（3）判斷出△ABH是等腰直角三角形可求出AH=BH=，由勾股定理求出AF=2FG=，最后求出BF=+

（1）證明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，

∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，

由旋轉可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，

∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，

∴AE=C′E；

（2）解：由（1）得到△ABB′為等邊三角形，

∴∠AB′B=60°，

∵，

∴。

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴∠FBB′=15°；

（3）如圖，連接，作于點。

在中，，，

，

∴是等腰直角三角形，

∴。

在中，，

，

∴，

∴在中，

，

∴