Question

（本題滿分12分）

如圖所示，在平面直角坐標系中，頂點為（，）的拋物線交軸于點，交軸于，兩點（點在點的左側）， 已知點坐標為（，）．

 

 

 

 

 

 

 

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點作線段的垂線交拋物線于點，

如果以點為圓心的圓與直線相切，請判斷拋物

線的對稱軸與⊙有怎樣的位置關系，并給出證明；

（3）已知點是拋物線上的一個動點，且位于，

兩點之間，問：當點運動到什么位置時，的

面積最大？并求出此時點的坐標和的最大面積.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）設拋物線為.……………1分 

       ∵拋物線經過點（0，3），∴.∴.……………2分 

       ∴拋物線為.   ……………………………3分

 (2) 答：與⊙相交 …………………………………………………………………4分

證明：當時，，.

        ∴為（2，0），為（6，0）.∴.…………………5分

       設⊙與相切于點，連接，則.

      ∵，∴.

      又∵，∴.∴∽.……6分

     ∴.∴.∴.…………………………7分

     ∵拋物線的對稱軸為，∴點到的距離為2.

     ∴拋物線的對稱軸與⊙相交.  ……………………………………………8分

(3) 解：如圖，過點作平行于軸的直線交于點。

可求出的解析式為.…………………………………………9分

設點的坐標為（，），則點的坐標為（，）.

       ∴.……………10分 

       ∵,

        ∴當時，的面積最大為.         ……………11分 

此時，點的坐標為（3，）.  ………12分

【解析】函數與圓相結合，有一定的難度。