Question

已知拋物線y＝ax²＋c的頂點為D(0，)，且過點A(1，)，如圖所示．

(1)試求這條拋物線的代數表達式；

(2)點F是坐標原點O關于該拋物線頂點D的對稱點，坐標為(0，)，我們可以用以下方法求線段FA的長度：過點A作AA₁⊥x軸，過F作x軸的平行線交AA₁于點A₂，則FA₂＝1，A₂A＝－＝．在Rt△AFA₂中，有FA＝＝．

已知拋物線上另一點B的橫坐標為2，求線段FB的長．

(3)若點P是該拋物線上在第一象限內的任意一點，試探究線段FP的長度與點P的縱坐標的大小關系，并證明你的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)由已知，得 　　解這個方程組，得 　　∴該拋物線的代數表達式為y＝2x2＋． 　　(2)當x＝2時，y＝2×22＋＝． 　　即點B的坐標為(2，)． 　　如圖，過B作BB1⊥x軸于點B1，過F作FB2∥x軸交BB1于點B2，則FB2＝2，BB2＝－＝． 　　在Rt△BFB2中，FB＝＝． 　　(3)相等 　　設P點的坐標為(x，y)，則x＞0，y＞0，且y＝2x2＋． 　　過P作PP1⊥x軸于P1，過F作FP2∥x軸交PP1于點P2，則FP2＝x，PP2＝y－＝2x2＋－＝2x2－ 　　在Rt△PFP2中，FP＝＝＝2x2＋＝y． 　　∴拋物線在第一象限內的任意一點P到點F的距離等于這一點P的縱坐標． 　　[剖析]由FA、FB的長，可獲得第(3)問的猜想，從FA、FB的長的求解過程可發現，求長的關鍵是要知道該點的坐標，故可先設出P點坐標(由于P點在第一象限，故x＞0，y＞0，然后用x的代數式表示FP的長度，最后由y與x的關系獲得FP與y的關系．

提示：

[方法提煉] 　　通過閱讀、理解，獲得一種新的方法，然后運用新方法解決問題．另外還要注意從結論和過程兩個角度進行歸納，以獲得一般性的結論和解法．