Question

已知銳角△ABC內接于圓O，作△ABC的BC邊上的高，CA邊上的中線，∠C的平分線并延長，分別交圓O于A′、B′、C′．
求證：S_△ABC≤S_△A'BC+S_△AB'C+S_△ABC′．

Answer 1

分析：首先設△ABC中，CA，AB上的高的延線分別交△ABC外接圓于B″、C″，垂心為P，利用垂心的性質，可得
S_△ABC=S_△A′BC+S_△AB″C+S_△ABC″，在分別設P為外心，重心，內心，則可得：S_△ABC≤S_△A'BC+S_△AB'C+S_△ABC'．

解答：證明：如圖所示，
①
設△ABC中，CA，AB上的高的延線分別交△ABC外接圓于B₁、C₁，
則P為△ABC的垂心，則有S_△ABC=S_△A′BC+S_△AB1C+S_△ABC1，
②
設△ABC中，BC，AB上的中線的延線分別交△ABC外接圓于A₂、C₂，
若P為△ABC的重心，則有 S_△ABC≤S_△A2BC+S_△AB′C+S_△ABC2，
③
設△ABC中，∠ABC，∠CAB上的中線的延線分別交△ABC外接圓于B₃、A₃，
若P為△ABC的內心，則有 S_△ABC≤S_△A3BC+S_△AB′3C+S_△ABC′，當且僅當△ABC為正三角形時等號成立．
∴S_△ABC≤S_△A'BC+S_△AB'C+S_△ABC'．

點評：此題考查了三角形的內心與垂心以及重心的性質．解此題的關鍵是注意三角形“四心”與一組面積公式的應用．