Question

如圖，已知拋物線與軸交于點，且經過兩點，點是拋物線頂點，是對稱軸與直線的交點，與關于點對稱．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使與相似．若有，請求出所有符合條件的點的坐標；若沒有，請說明理由．

 

Answer 1

答案：解：（1）將點代入得

     ……………………1分

解之得，

所以拋物線的解析式為 ………2分

（2）由（1）可得拋物線頂點  …… 3分

     直線的解析式為

     由是對稱軸與直線的交點，則

     由與關于點對稱 ，則………4分

證法一：

從點分別向對稱軸作垂線，交對稱軸于

在和中

，

所以∽

所以      …………………………………5分

證法二：直線的解析式為

點 關于對稱軸的對稱點是

將點代入可知點在直線

所以 

（3）在中，三內角不等，且為鈍角

① 若點在點下方時，

在中，為鈍角

因為，

所以和不相等

所以，點在點下方時，兩三角形不能相似 …………………… 6分

②  若點在點上方時，

由，要使與相似

只需（點在之間）或（點在的延長線上）

解得點的坐標為或   ………………………………………8分