Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點O在CB上，且AO平分∠BAC，CO=3（如圖所示），以點O為圓心，r為半徑畫圓．
（1）r取何值時，⊙O與AB相切；
（2）r取何值時，⊙O與AB有兩個公共點；
（3）當⊙O與AB相切時，設切點為D，在BC上是否存在點P，使△APD的面積為△ABC的面積的一半？若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點D作DO⊥AB于D，
∵∠1=∠2，∠C=90°，
∴OD=OC=3，
故當r=3時，⊙O與AB相切；

（2）在Rt△AOC中，AO=，
而OB=BC-OC=8-3=5，
∴OA＞OB
∴當3＜r≤5時，⊙O與AB有兩個公共點；

（3）連接OD，過點P做PH⊥AB于H；
設CP=x，則PB=8-x，
∵D為切點，
∴OD⊥AB，
∴PH∥OD，
∴，，
∴PH=（8-x），
∵AC⊥OC，
∴AC切⊙O于C，
∴AD=AC=6；
∴S_△APD=AD•PH=×6×（8-x）=-x；
由題意：S_△APD=S_△ABC
∴
∴；
故當PC=時，存在P點，使S_△APD=S_△ABC．
分析：（1）⊙O與AB相切，則r等于圓的半徑；
（2）⊙O與AB有兩個公共點，則OA＞OB；
（3）連接OD，過點P做PH⊥AB于H，根據PH∥OD，，得到PH=（8-x），再根據S_△APD=S_△ABC，就可以求出PC的長．
點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系的判定方法，可以利用比較半徑與圓心到直線的距離來比較得到．