Question

某地區為提高某段海堤的防海潮能力，計劃將長96m的一堤段（原海堤的橫斷面如圖中的梯形ABCD）的堤面加寬1.6 m，背水坡度由原來的1：1改成1：2，已知原背水坡長AD=8.0 m，求完成這一工程所需的土方，要求保留兩個有效數字．（提供數據≈1.414，≈1.73，≈2.24）

Answer 1

解：分別作DM⊥AB交AB于M，EN⊥AB交AB于N．
∵=，
∴∠DAM=45°，△ADM為等腰三角形，
∵AD=8，
∴DM=AM=4．
又∵CD∥AB，∴EN=DM=4，
DE=MN=1.6．
在Rt△FNE中，=，
∴FN=2EN=8．
∴FA=FN+NM-AM=8+1.6-4=4+1.6≈7.26．
S_{四邊形ADEF}=（AF+DE）•EN=（7.26+1.6）×5.66≈25.07（m²）．
V_體積=S_{四邊形ADEF}×96=25.07×96=2.40672×10³≈2.4×10³（m³）．
答：完成這一工程需2.4×10³m³的土方．
分析：過點D、E向下底引垂線，得到兩個直角三角形，利用三角函數分別求得增加的下底寬和高的相應線段．所需的土方=增加橫截面的面積×長度96．
點評：本題考查銳角三角函數的應用．需注意構造直角三角形是常用的輔助線方法．