Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(﹣2，﹣4)，直線x=﹣2與x軸相交于點B，連接OA，拋物線y=﹣x2從點O沿OA方向平移，與直線x=﹣2交于點P，頂點M到點A時停止移動．

（1）線段OA所在直線的函數解析式是　 ；

（2）設平移后拋物線的頂點M的橫坐標為m，問：當m為何值時，線段PA最長？并求出此時PA的長．

（3）若平移后拋物線交y軸于點Q，是否存在點Q使得△OMQ為等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x；（2）當m=1時，PA的值最大，PA的最大值為1；（3）存在，(0，5﹣2)或(0，﹣8)

【解析】

（1）利用待定系數法求直線OA的解析式；

（2）設M點的坐標為（m，2m），（﹣2≤m＜0），利用頂點式寫出平移后拋物線解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m，則 P點的坐標為（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），所以PA=﹣m2﹣2m，然后利用二次函數的性質解決問題；

（3）先確定OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，再討論：當OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，然后解方程求出m即可得到此時Q點坐標；當OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如圖1，利用OH=QH得到﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），然后解方程求出m即可得到Q點坐標；當QM=QO，作QF⊥OM于F，如圖2，則OF=MF=﹣m，證明Rt△OFQ∽Rt△ABO，利用相似比得到，解得m不滿足條件舍去．

解：（1）設直線OA的解析式為y=kx，

把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，

所以直線OA的解析式為y=2x；

故答案為y=2x；

（2）設M點的坐標為（m，2m），（﹣2≤m＜0），

∴平移后拋物線解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m，

當x=﹣2時，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，

∴P點的坐標為（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），

∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1

∴當m=1時，PA的值最大，PA的最大值為1；

（3）存在，理由如下：

當x=0時，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，則Q（0，﹣m2+2m），

∵OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，

當OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，即m2﹣（2﹣）m=0，解得m1=0（舍去），m2=2﹣，此時Q點坐標為（0，5﹣2）；

當OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如圖1，則OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時Q點坐標為（0，﹣8）；

當QM=QO，作QF⊥OM于F，如圖2，則OF=MF=﹣m，

∵OQ∥AB，

∴∠QOF=∠BAO，

∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，

∴，即，整理得4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=（舍去），

綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（0，5﹣2）或（0，﹣8）．