Question

如圖，反比例函數的圖象經過A、B兩點，點A、B的橫坐標分別為2、4，過A作AC⊥x軸，垂足為C，且△AOC的面積等于4．
（1）求k的值；
（2）求直線AB的函數值小于反比例函數的值的x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積；
（4）在x軸的正半軸上是否存在一點P，使得△POA為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A的橫坐標為2，
∴OC=2，
又∵Rt△AOC的面積等于4，
∴OC•AC=4，可得AC=4，
∴A（2，4），
將A的坐標代入y=中，得k=8，
則k的值為8；

（2）由函數圖象可得：當0＜x＜2或x＞4時，直線AB的函數值小于反比例函數的值；

（3）過點B作BD⊥x軸，交x軸于點D，如圖所示：

由B的橫坐標為4，將x=4代入反比例解析式得：y=2，
∴B（4，2），
∴OD=4，BD=2，
又∵OC=2，AC=4，
∴CD=OD-OC=4-2=2，
∵S_△BOD=S_△AOC==4，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_梯形ACDB-S_△BOD=S_梯形ACDB===6；

（4）在x軸的正半軸上存在點P，使得△POA為等腰三角形，

分三種情況考慮：
當AO=AP₁時，△P₁OA為等腰三角形，
∵A（2，4），
∴OC=2，
又∵AC⊥x軸，
∴C為OP₁的中點，
∴OP₁=4，
此時P₁的坐標為（4，0）；
當OA=OP₂時，△P₂OA為等腰三角形，
∵A（2，4），
∴OA=2，
此時P₂的坐標為（2，0）；
當AP₃=OP₃時，△P₃OA為等腰三角形，
此時P₃為OA垂直平分線與x軸的交點，
取OA的中點為M，作MN⊥x軸，
∵O（0，0），A（2，4），
∴M（1，2），
∴MN=2，ON=1，
∵∠OMN+∠NMP₃=90°，∠MON+∠OMN=90°，
∴∠NMP₃=∠MON，又∠MNO=∠MNP₃=90°，
∴△MON∽△P₃MN，
∴MN²=ON•NP₃，即4=1•NP₃，
可得NP₃=4，則OP₃=ON+NP₃=1+4=5，
此時P₃的坐標為（5，0）．
綜上，滿足題意的坐標為P₁（4，0）；P₂（2，0）；P₃（5，0）．
分析：（1）由A的橫坐標得出OC的長，再根據直角三角形AOC的面積等于兩直角邊OC與AC乘積的一半，由已知的面積及OC的長，求出AC的長，確定出A的坐標，將A的坐標代入反比例函數解析式中，即可求出k的值；
（2）由一次函數與反比例函數的交點A和B的橫坐標，根據函數圖象可得出直線AB的函數值小于反比例函數的值的x的取值范圍；
（3）過B作BD垂直于x軸，交x軸于點D，將B的橫坐標代入反比例解析式中，求出y的值，即為B的縱坐標，確定出B的坐標，進而確定出OD及BD的長，用OD-OC求出CD的長，根據反比例函數的性質得到三角形AOC的面積與三角形OBD的面積相等，都為，直角梯形ACDB的面積等于（BD+AC）•CD，然后由三角形AOB的面積=三角形AOC的面積+梯形ACDB的面積-三角形OBD的面積，將各自的面積代入即可求出三角形AOB的面積；
（4）在x軸的正半軸上存在一點P，使得△POA為等腰三角形，分三種情況考慮：當AO=AP₁時，根據等腰三角形的三線合一得到C為OP₁的中點，由OC的長求出OP₁的長，確定出P1的坐標；當OA=OP₂時，根據A的坐標求出OA的長，即為OP₂的長，確定出P₂的坐標；當AP₃=OP₃時，此時P₃為OA垂直平分線與x軸的交點，取OA的中點為M，由O與A的坐標，利用線段中點坐標公式求出M的坐標，確定出MN及ON的長，過M作MN垂直于x軸，根據同角的余角相等可得出三角形AMN與三角形MNP₃一對角相等，再由一對直角相等，根據兩對對應角相等的兩三角形相似可得出這兩個三角形相似，由相似得比例，將各自的值代入求出NP₃的長，由ON+NP₃求出OP₃的長，確定出P₃的坐標，綜上得到所有滿足題意的P的坐標．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：利用待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定與性質，線段中點坐標公式，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，利用了數形結合及分類討論的思想，是一道較難的題，其中第二問注意運用圖象法來求解，第三問滿足題意的點P坐標有3個，注意不要漏解．