Question

如圖，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于點D．下列結論中錯誤的是（　　）

A．圖中共有三個等腰三角形

B．點D在AB的垂直平分線上

C．AC+CD=AB

D．BD=2CD

Answer 1

分析：根據三角形內角和定理求出∠BAC，求出∠DAC和∠BAD，根據等腰三角形的判定即可判斷A；根據AD=BD即可判斷B；在AB上截取AE=AC，連接DE，證△EAD≌△CAD，推出DE=DC，∠C=∠AED=72°，求出CD=DE=BE，即可判斷C、D．

解答：解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，
∴∠BAC=180°-36°-72°=72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB=36°，
即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，
∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本選項錯誤；
B、∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴D在AB的垂直平分線上，故本選項錯誤；
C、在AB上截取AE=AC，連接DE，
在△EAD和△CAD中

AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

∴△EAD≌△CAD，
∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，
∵∠B=36°，
∴∠EDB=72°-36°=36°=∠B，
∴DE=BE，
即AB=AE+BE=AC+CD，故本選項錯誤；
D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，
∴BD＜2DC，故本選項正確；
故選D．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質，三角形三邊關系定理的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，有一定的難度．