Question

如圖（1），A，E，F，C在一條直線上，AE=CF，過E，F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，試證明BD平分EF，若將△DEC的邊EC沿AC方向移動變為圖（2）時，其余條件不變，上述結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DGE，從而得出FG=EG，即BD平分EF．
（2）結論仍然成立，同樣可以證明得到．

試題分析：（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DGE，從而得出FG=EG，即BD平分EF．
（2）結論仍然成立，同樣可以證明得到．
（1）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFE=90°．
∵AE=CF，AE+EF=CF+EF．
即AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BFG和△DEG中，

∴△BFG≌△DGE（AAS），
∴FG=EG，即BD平分EF．
（2）FG=EG，即BD平分EF的結論依然成立．
理由：因為 AE=CF，
所以 AF=CE，
因為 DE垂直于AC，BF垂直于AC，
所以 角AFB=角CED，BF∥DE，
因為 AB∥CD，
所以 角A=角C，
所以 三角形ABF全等于三角形CDE，
所以 BF=DE，
所以 四邊形BEDF是平行四邊形，
所以 GE=GF，即：BD平分EF，
即結論依然成立．
點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．