Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度數；(本題2分)
（2）求證：AE是⊙O的切線；(本題2分)
（3）當BC=4時，求劣弧AC的長．(本題3分)

Answer 1

（1）60°（2）見解析（3）

解析試題分析：解：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，
∴∠ABC=∠D=60°； 
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；
（3）連接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長為
考點：本題考查了切線定理
點評：此類試題屬于難度一般的試題，考生在解答此類試題時一定要垂徑定理、切線定理和圓的基本知識熟練把握