Question

【題目】數學活動課上，老師出示了一個問題：

如圖，△ABC≌△DEF（點A、B分別與點D、E對應），AB＝AC．現將△ABC與△DEF按如圖所示的方式疊放在一起，現將△ABC保持不動, △DEF運動，且滿足點E在BC邊從B向C移動（不與B、C重合），DE始終經過點A，EF與AC邊交于點M．求證：△ABE∽△ECM．

（1）請解答老師提出的問題．

（2）受此問題的啟發，小明將△DEF繞點E按逆時針旋轉， DE、EF分別交線段AB、AC邊于點N、M，連接MN，如圖2，當EB=EC時，小明猜想△NEM與△ECM相似．小明的猜想正確嗎？請你作出判斷，并說明理由.

（3）在（2）的條件下，以E為圓心，作⊙E，使得AB與⊙E相切，請在圖3中畫出⊙E，并判斷直線MN與⊙E的位置關系，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）小明是猜想是正確的，即△NEM∽△ECM；（3）直線MN與⊙E的位置關系是相切．

【解析】

（1）證明：由如圖1，△ABC≌△DEF（點A、B分別與點D、E對應），AB＝AC，

得∠ABE=∠ECM，又∠AEC=∠ABE+∠BAE=∠AEC+∠CEM,

所以∠BAE=∠CEM,所以△ABE∽△ECM．

(2)小明是猜想是正確的，即△NEM∽△ECM

理由如下：同（1）可證得，△NBE∽△ECM，所以∠BNE=∠CEM,

又BE=CE，所以

又∠C=∠NEM

所以△NEM∽△ECM

（3）直線MN與⊙E的位置關系是相切．

理由如下：由（2）知，∠BNE=∠CEM,∠ENM=∠CEM,

所以∠BNE=∠ENM.

過E點做EH⊥MN于H，⊙E 與AB切于G點，由于E點在∠BNM 的平分線上，EH=GE,所以點H在⊙E上，所以MN是⊙E的切線，直線MN與⊙E的位置關系是相切．