Question

工廠有一批長24cm，寬16cm的矩形鐵片，在每一塊上截下一個最大的圓鐵片⊙O₁之后，再在剩余鐵片上截下一個充分大的圓鐵片⊙O₂，如圖．
（1）求⊙O₁與⊙O₂的半徑R、r的長；
（2）能否在第二次剩余鐵片上再截出一個與⊙O₂同樣大小的圓鐵片，為什么？

Answer 1

分析：（1）顯然⊙O₁的直徑等于矩形的寬，即16，則R=8；連接兩圓的圓心和各個切點，組成一個直角梯形，作梯形的另一高，組成直角三角形，根據勾股定理列方程計算；
（2）根據2r大于鐵皮寬（16cm）的一半可知，不能再截出一個與⊙O₂同樣大小的圓鐵片．

解答：解：（1）顯然⊙O₁的半徑是矩形ABCD的寬的一半，即8．
設兩圓和BC分別切于點F，E，連接O₁O₂，O₁F、O₂E，得到一個直角梯形，作梯形的另一高．
根據在Rt△GO₁O₂中，由勾股定理，得：
（8+r）²=（8-r）²+（24-8-r）²，
r₁=32-16

3

，r₂=32+16

3

（不合題意舍去）．

（2）因為2r＞8，所以剩余鐵皮的寬小于8，所以無法截出一個與⊙O₂同樣大小的圓鐵片．

點評：能夠構造一個直角三角形，根據勾股定理列方程進行求解．