Question

已知AB為半圓的直徑，弦AD、BC相交于M，點E在AM上，且∠CEM=∠B，AB=1，則cos∠AMC的值等于線段的長．

1. A.
   AB
2. B.
   CE
3. C.
   AM
4. D.
   CM

Answer 1

B
分析：連接BD，CD，利用同弧所對的圓周角相等得到∠B=∠ADC，再由已知的∠CEM=∠B，利用等量代換得到一對角相等，利用等角對等邊得到CE=CD，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，在直角三角形BDM中，利用銳角三角函數定義表示出cos∠DMB，由對頂角相等得到cos∠DMB=cos∠AMC，再由∠B=∠ADC及一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形CMD與三角形ABM相似，由相似得比例，可得出CD：AB即為cos∠AMC的值，將AB=1，CD=CE代入即可得到其值為CE，得到正確的選項．
解答：解：連接BD，CD，如圖所示：
∵∠B和∠ADC都對，
∴∠B=∠ADC，又∠CEM=∠B，
∴∠CEM=∠ADC，
∴CE=CD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△MBD中，cos∠DMB=，
∵∠AMC=∠DMB，
∴cos∠AMC=cos∠DMB=，
∵∠ADC=∠B，∠CMD=∠AMB，
∴△CMD∽△AMB，
∴=，又AB=1，
∴=CD，又CD=CE，
則cos∠AMC==CE．
故選B
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，等腰三角形的判定，以及圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．