Question

【題目】在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC= ，將△ABC繞點C順時針旋轉，得到△A1B1C．
（1）如圖①，當點B1在線段BA延長線上時．①求證：BB1∥CA1；②求△AB1C的面積；

（2）如圖②，點E是BC邊的中點，點F為線段AB上的動點，在△ABC繞點C順時針旋轉過程中，點F的對應點是F1 ， 求線段EF1長度的最大值與最小值的差．

Answer 1

【答案】
（1）解：①證明：∵AB=AC，B1C=BC，

∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠AB1C=∠ACB（旋轉角相等），

∴∠B1CA1=∠AB1C，

∴BB1∥CA1；

②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，如圖①：

∵AB=AC，AF⊥BC，

∴BF=CF，

∵cos∠ABC= ，AB=5，

∴BF=3，

∴BC=6，

∴B1C=BC=6，

∵CE⊥AB，

∴BE=B1E= ，

∴BB1= ，CE= ，

∴AB1= ，

∴△AB1C的面積為：

（2）解：如圖2，過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，EF1有最小值，

此時在Rt△BFC中，CF= ，

∴CF1= ，

∴EF1的最小值為 ；

如圖，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1，EF1有最大值；

此時EF1=EC+CF1=3+6=9，

∴線段EF1的最大值與最小值的差為

【解析】（1）①先依據等腰三角形的性質和旋轉的性質可證明∠B1CA1=∠AB1C，最后，再依據平行線的性質進行證明即可；②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，根據三角函數的定義和三角形的面積公式進行計算即可；
（2）過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1，依據圖形可得到EF取得最大值和最小值的條件，最后，再求得兩條線段的差即可.