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(2013•鞍山一模)如圖,在平面直角著坐標系中,一次函數y=
3
x+3
3
的圖象與x軸交與點A,與y軸交與點B,點C為x軸上一點,且滿足AB=BC.
(1)求點C的點坐標.
(2)若點P是線段BC延長線上一動點,連接AP,作線段AP的垂直平分線,交AP于點D,交y軸于點E,連接EA,EP,EC,EC交AP于點F.
①點P在移動過程中,∠AEP的角度是否發生變化?為什么?
②若S△AEF-S△CFP=2
3
,求直線AP的解析式.
分析:(1)由一次函數y=
3
x+3
3
就可以求出A的坐標,根據等腰三角形的性質就可以求出OA=OC,就可以求出C的坐標;
(2)如圖1,作EM⊥AB于點M,EN⊥BC于N,證明Rt△AME≌Rt△PNE就可以得出∠AEM=∠PEN,根據四邊形的內角和就可以求出∠MEN的度數,進而求出∠AEP的度數;
(3)如圖2,作PC⊥x軸于點G,在Rt△PGC中,PC=t,CG=
1
2
,PG=
3
2
t,由勾股定理就可以求出BE的值,進而求出OE,運用三角形的面積建立等式求出P的坐標,由待定系數法就可以求出結論.
解答:解:(1)如圖1∵一次函數數y=
3
x+3
3
的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B.
當y=時,x=-3,當x=0時,y=3
3
,
∴A(-3,0),B(0,3 )
∴OA=3.
∵AB=BC,
∴OA=OC=3,
∴C(3,0).
答:C點的坐標為(3,0);
(2)①∠AEP=120°
理由:∵y軸⊥AC,OA=OC.
∴AB=BC
在Rt△AOB中,tan∠BAO=
BO
AO
=
3
,
∴∠BAC=60°
∴△ABC是等邊三角形;
∴AC=BC=AB=6.
如圖1,作EM⊥AB于點M,EN⊥BC于N,
∴∠AME=∠PNE=90°.
∴∠MEN=120°
∵y軸垂直平分AC,△ABC是等邊三角形,
∴EA=EC,∠BEA=∠BEC=
1
2
∠AEC,∠EBP=30°,
∴EM=EN.
∴∠BEM=60°.
∵ED垂直平分AP,
∴EA=EP,
∴EA=EC=EP,
∴EN垂直平分CP,
∴CN=
1
2
PC.
在Rt△AME和Rt△PNE中,
AE=AP
EM=EN
,
∴Rt△AME≌Rt△PNE(HL),
∴∠AEM=∠PEN.
∵∠AEM+∠AEN=120°,
∴∠PEN+∠AEN=∠AEP=120°
(3)如圖2,作PC⊥x軸于點G,
在Rt△PGC中,PC=t,CG=
1
2
,PG=
3
2
t,
∴CH=
1
2
t,BH=6+
1
2
t.
在Rt△BEH 中,
EH
BH
=
3
3

EH
6+
1
2
t
=
3
3
,
∴EH=
3
3
(6+
1
2
t),
由勾股定理,得
BE=
3
3
t+4
3

EO=BE-BO=
3
3
t+
3

∵S△AEF-S△CFP=2
3
,
∴S△AEF+S△AFC-(S△CFP+S△AFC)=2
3

∴S△EAC-S△PAC=2
3

∵S△EAC=
1
2
AC•EO=
1
2
×6×(
3
3
t+
3
)=
3
t+3
3
,
S△PAC=
1
2
AC•PG=
1
2
×6×
3
2
t=
3
3
2
t,
3
t+3
3
-
3
3
2
t=2
3
,
∴t=2.
∴PG=
3
,CG=1,
∴OG=4,
∴P(4,-
3
).
設直線AP的解析式為y=kx+b,由題意,得
0=-3k+b
-
3
=4k+b

解得:
k=-
3
7
b=-
3
3
7
,
∴直線AP的解析式為:y=-
3
7
x-
3
3
7
點評:本題考查了一次函數的解析式的性質的運用,待定系數法求一次函數的解析式的運用,勾股定理的運用,等邊三角形的性質的運用,特殊角的三角形函數值的運用,解答時巧妙運用三角形的面積之間的等量關系建立方程求出點P的坐標是關鍵.
練習冊系列答案
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3
時,n=
4-2
3
4-2
3

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