Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，CE∥AB，AD平分∠EAB

(1)延長AD、CE相交于點F，求證:AB＝CE+AE

(2)當點E和點C重合時，試判斷△ABC的形狀，請畫出圖形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）等腰三角形，圖形及理由見解析.

【解析】

（1）先證明△ABD≌△FCD，然后利用平行及角平分線證明AE=EF，最后結合全等的性質即可證明結論；

（2）當點E和點C重合時，AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，然后過點D向另外兩邊作垂線DM和DN，證三角形△BDM和△CDN全等，得到∠B=∠C，即可得到三角形形狀.

（1）證明：∵點D是邊BC的中點，

∴BD=CD，

∵CE∥AB，

∴∠BAD=∠F，

在△ABD和△FCD中，,

∴△ABD≌△FCD（AAS），

∴AB=CF，

∵AD平分∠EAB，

∴∠BAD=∠DAE，

∴∠F=∠DAE，

∴AE=EF，

∵CF=CE+EF，

∴AB=CE+AE；

（2）解：△ABC為等腰三角形，圖形及理由如下：

過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，

∵AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，且DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°，

∵點D是邊BC的中點，

∴BD=CD，

在Rt△BDM和Rt△CDN中，，

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形.