Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數的表達式．
（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

（1）y=x²-2x-3；（2）存在點P，P點的坐標為（，?）；（3）P點的坐標為(，?)，四邊形ABPC的面積的最大值為.

試題分析：（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；
（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；
（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標．
（1）將B、C兩點的坐標代入得，解得：；
所以二次函數的表達式為：y=x²-2x-3
（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；
設P點坐標為（x，x²-2x-3），PP′交CO于E
若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；
連接PP′，則PE⊥CO于E，

∵C（0，-3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=
∴y=?；
∴x²-2x-3=?
解得x₁=，x₂=（不合題意，舍去），
∴P點的坐標為（，?）
（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x²-2x-3），

設直線BC的解析式為：y=kx+d，
則，解得：
∴直線BC的解析式為y=x-3，
則Q點的坐標為（x，x-3）；
當0=x²-2x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴AO=1，AB=4，
S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+(?x²+3x)×3
=?(x?)²+
當x=時，四邊形ABPC的面積最大
此時P點的坐標為(，?)，四邊形ABPC的面積的最大值為