Question

13．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點P、Q同時從點C出發，以相同的速度分別沿射線CA、射線CB運動，作△CPQ關于直線PQ的軸對稱圖形（記為△C′PQ）當P點到達A點時，點P、Q同時停止運動．設PC=x．△C′PQ與△ABC重疊部分的面積為S，S關于x的函數圖象如圖2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤n時，函數的解析式不同）且當x=m時，S=$\frac{9}{2}$．

（1）填空：n的值為3+$\sqrt{3}$；
（2）求S關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）0＜x≤m，m＜x≤n時，函數的解析式不同可知當x=m時，C′在AB上，根據圖2得出$\frac{1}{2}$x²=$\frac{9}{2}$，求得x=3，由四邊形PCQC′是正方形，得出PC′∥BC，進一步得出∠P′CA=∠B=30°，解直角三角形得出AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC′=$\sqrt{3}$，從而求得n=AC=3+$\sqrt{3}$；
（2）分兩種情況分別討論即可求得．

解答 解：（1）∵0＜x≤m，m＜x≤n時，函數的解析式不同，
∴當x=m時，C′在AB上，如圖①，
即$\frac{1}{2}$x²=$\frac{9}{2}$，∴x=3，
∵四邊形PCQC′是正方形，
∴PC′∥BC，
∴∠P′CA=∠B=30°，
在RT△APC′中，AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC′=$\sqrt{3}$，
∴n=AC=3+$\sqrt{3}$；
故答案為3+$\sqrt{3}$；
（2）①當0＜x≤3時，△C′PQ在△ABC內，
∴S=$\frac{1}{2}$x²；
②當3＜x≤3+$\sqrt{3}$時，如圖②
∵AC=3+$\sqrt{3}$，PC=x，
∴AP=3+$\sqrt{3}$-x，
∴PD=$\sqrt{3}$AP=3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$x，
∴DC′=x-（3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$x）=（$\sqrt{3}$+1）x-3$\sqrt{3}$-3，
∴C′E=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DC′=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$x-3-$\sqrt{3}$，
∴S_△DC′E=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{3}$+1）x-3$\sqrt{3}$-3]•（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$x-3-$\sqrt{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$（x-3）²，
∴S=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$（x-3）²=-$\frac{4\sqrt{3}-3}{6}$x²+（4$\sqrt{3}$+6）x-6$\sqrt{3}$-9，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤3）}\\{-\frac{4\sqrt{3}-3}{6}{x}^{2}+（4\sqrt{3}+6）x-6\sqrt{3}-9（3＜x≤3+\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了動點問題的函數圖象，此題涉及的知識有：正方形的性質，直角三角函數，三角形面積以及四邊形面積等，有一定的難度．