Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx-2交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，OC=OA，△ABC的面積為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若平行于x軸的動直線DE從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E、點D，同時動點P從點B出發，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動．當點P運動到點O時，直線DE與點P都停止運動．連接DP，設點P的運動時間為t秒．
①當t為何值時，的值最小，并求出最小值；
②是否存在t的值，使以P，B，D為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，由拋物線y=ax²+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面積為2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），代入點C（0，-2），
a=-，

∴拋物線的解析式為，
答：拋物線的解析式為y=-x²+x-2．

（2）解：由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：，
即，
∴ED=2CE=2t，
①，
∵當t=1時，-t²+2t有最大值1，
∴當t=1時的值最小，最小值為1．
答：當t為1時，的值最小，最小值是1．

②解：由題意可求：，，
∴，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況：
當時，即，
解得：，
當時，即，
解得：，
當或時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D為頂點的三角形與△ABC相似，t的值是或．
分析：（1）求出C的坐標，得到A、B的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），代入點C的坐標求出a即可；
（2）①由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出，求出ED=2CE=2t，根據，求出即可；②以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況：和代入求出即可．
點評：本題主要考查對二次函數的最值，用待定系數法求二次函數的解析式，解一元一次方程，相似三角形的性質和判定，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．