Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點M．

（1）直接寫出AM=　　　　；

（2）P是射線AM上的一點，Q是AP的中點，設PQ=x．

①AP=　　　　 ，AQ=　　　　 ；

②以PQ為對角線作正方形，設所作正方形與△ABD公共部分的面積為S，用含x的代數式表示S，并寫出相應的x的取值范圍．(直接寫出，不需要寫過程)

Answer 1

【答案】（1）；（2）①2x，x；②S(0＜x≤)．

【解析】

（1）根據勾股定理可得AC=，進而根據正方形對角線相等而且互相平分，可得AM的長；

（2）由中點定義可得AP=2PQ，AQ=PQ，然后由正方形與△ABD公共部分可得是以QM為高的等腰直角三角形，據此即可解答．

解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，

∴對角線AC4，

又∴AM2．

故答案為：2．

（2）①Q是AP的中點，設PQ=x，

∴AP=2PQ=2x，AQ=x．

故答案為：2x；x．

②如圖：

∵以PQ為對角線作正方形，

∴∠GQM=∠FQM=45°

∵正方形ABCD對角線AC、BD交于點M，

∴∠FMQ=∠GMQ=90°，

∴△FMQ和△GMQ均為等腰直角三角形，

∴FM=QM=MG．

∵QM=AM﹣AQ=2x，

∴SFGQM，

∴S，

∵依題意得：，

∴0＜x≤2，

綜上所述：S(0＜x≤2)，