Question

若關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根分別為x₁，x₂，則，．
解決下列問題：
已知：a，b，c均為非零實數，且a＞b＞c，關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數根，其中一根為2．
（1）填空：4a+2b+c______0，a______0，c______0；（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）利用閱讀材料中的結論直接寫出方程ax²+bx+c=0的另一個實數根（用含a，c的代數式表示）；
（3）若實數m使代數式am²+bm+c的值小于0，問：當x=m+5時，代數式ax²+bx+c的值是否為正數？寫出你的結論并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵4a+2b+c=0，
∴a，b，c至少有一個為正，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，
①當a＞0，c＞0時候，則b＞0，所以4a+2b+c＞0，與4a+2b+c=0矛盾，不合題意；
②當a＞0，c＜0時候，所以4a+2b+c可能等于0，
∴a＞0，c＜0；
故答案為：=，＞，＜．

（2）由題意可知：x₁x₂=2x₂=，解得：另一根x₂=；

（3）答：當x=m+5時，代數式ax²+bx+c的值是正數．
理由如下：
設拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），則由題意可知，它經過A，B（2，0）點．
∵a＞0，c＜0，∴拋物線y=ax²+bx+c開口向上，且＜0＜2，即點A在點B左側．
設點M的坐標為M（m，am²+bm+c），點N的坐標為N（m+5，y）．
∵代數式am²+bm+c的值小于0，∴點M在拋物線y=ax²+bx+c上，且點M的縱坐標為負數．
∴點M在x軸下方的拋物線上．（如圖）∴x_A＜x_M＜x_B，即．
∴，即．
以下判斷與x_B的大小關系：
∵4a+2b+c=0，a＞b，a＞0，
∴．
∴．∴．
∵B，N兩點都在拋物線的對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，
∴y_N＞y_B，即y＞0．
∴當x=m+5時，代數式ax²+bx+c的值是正數．
分析：（1）根據圖象可知拋物線開口向上，所以得到a大于0，又拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸得到c小于0，由方程ax²+bx+c=0有一根為2，得到拋物線與x軸的一個交點為（2，0），代入拋物線的解析式即可得到4a+2b+c=0；
（2）根據根與系數的關系得到兩根之積為，而一根為2，即可求出另一根；
（3）根據第（2）表示出點A的坐標，又根據（1）中判斷出的a與c的正負，根據二次函數的圖象可判斷出A在B的左側，設出M點的坐標為（m，am²+bm+c），則點N的坐標為（m+5，y），根據二次函數圖象可知點M在x軸的下方的拋物線上，即可得到點A，點B以及點M橫坐標的大小，把關于m的不等式兩邊都加上5，即可得到N的橫坐標的范圍，然后利用做差法判斷出點N與點B橫坐標的大小，得到兩點都在對稱軸的右邊，根據對稱軸右邊拋物線的圖象為增函數，且x=2時的函數值為0，得到y大于0，即當x=m+5時，代數式ax²+bx+c的值為正數．
點評：此題考查學生靈活運用閱讀材料中給出的根與系數的關系，考查了數形結合的數學思想，要求學生掌握二次函數的圖象與性質并會根據二次函數的圖象判斷得出a、b及c的符號，是一道多知識的綜合題．