Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且DE=DC．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為5，BC=，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，欲證明CF是⊙O的切線，只要證明∠OCF=90°．

（2）作DH⊥AC于H，由△AEO∽△ABC，得求出AE，EC，再根據sin∠A=sin∠EDH，得到，求出DE即可．

試題解析：連接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵OD⊥AB，∴∠A+∠AEO=90°，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠AEO=∠DCE，∴∠AEO=∠DCE，∴∠OCE+∠DCE=90°，∠OCF=90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O切線．

（2）作DH⊥AC于H，則∠EDH=∠A，∵DE=DC，∴EH=HC=EC，∵⊙O的半徑為5，BC=，∴AB=10，AC=，∵△AEO∽△ABC，∴，∴AE=，∴EC=AC﹣AE=，∴EH=EC=，∵∠EDH=∠A，∴sin∠A=sin∠EDH，∴，∴DE===．