Question

 

如圖，二次函數的圖象經過點D，與x軸交于A、B兩點．

⑴求的值；

⑵如圖①，設點C為該二次函數的圖象在x軸上方的一點，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時直線AC的函數解析式；

⑶設點P、Q為該二次函數的圖象在x軸上方的兩個動點，試猜想：是否存在這樣的點P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請舉例驗證你的猜想；如果不存在，請說明理由．

（圖②供選用）

 

Answer 1

 

（1）6

（2）

（3）存在

解析:⑴ ∵拋物線經過點D()

∴

∴c=6.

⑵過點D、B點分別作AC的垂線，垂足分別為E、F，設AC與BD交點為M，

　∵AC 將四邊形ABCD的面積二等分，即：S△ABC=S△ADC  ∴DE=BF 

又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE

∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM   即AC平分BD

∵c=6.  ∵拋物線為

∴A（）、B（）

∵M是BD的中點   ∴M（）

設AC的解析式為y=kx+b，經過A、M點

解得

直線AC的解析式為.

⑶存在．設拋物線頂點為N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A點為圓心，AB=為半徑作圓與拋物線在x上方一定有交點Q，連接AQ，再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP、PQ，此時由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP