Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中點，有以下四個命題：
①如果AB+DC=BC，則∠BEC=90°；
②如果∠BEC=90°，則AB+DC=BC；
③如果BE是∠ABC的平分線，則∠BEC=90°，
④如果AB+DC=BC，則CE是∠DCB的平分線，
其中真命題的個數是

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：首先過點E作EF∥CD，由E是AD的中點，可得EF是梯形ABCD的中位線，即可得AB∥EF∥CD，EF=（AB+CD）；
①由AB+DC=BC，可得EF=BC，即可判定∠BEC=90°；
②如果∠BEC=90°，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得AB+DC=BC；
③如果BE是∠ABC的平分線，易得EF=BC，即可判定∠BEC=90°；
④如果AB+DC=BC，可得EF=CF=BC，繼而可得CE是∠DCB的平分線，
解答：解：過點E作EF∥CD，
∵AB∥DC，E是AD的中點，
∴AB∥EF∥CD，EF=（AB+CD）；
①∵AB+DC=BC，
∴EF=BC，
∴∠BEC=90°；正確；
②∵∠BEC=90°，
∴EF=BC，
∴AB+DC=BC；正確；
③∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE，
∴∠BEF=∠FBE，
∴EF=BF，
∴EF=BC，
∴∠BEC=90°；正確；
④∵AB+DC=BC，
∴EF=CF=BC，
∴∠FEC=∠FCE，
∵EF∥CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∴∠DCE=∠FCE，
即CE是∠DCB的平分線，正確．
故選D．
點評：此題考查了梯形的性質、梯形中位線的性質、直角三角形斜邊的中線的性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．