Question

（2008•南充）如圖，已知平面直角坐標系xoy中，有一矩形紙片OABC，O為坐標原點，AB∥x軸，B（3，），現將紙片按如圖折疊，AD，DE為折痕，∠OAD=30度．折疊后，點O落在點O₁，點C落在線段AB點C₁處，并且DO₁與DC₁在同一直線上．
（1）求折痕AD所在直線的解析式；
（2）求經過三點O，C₁，C的拋物線的解析式；
（3）若⊙P的半徑為R，圓心P在（2）的拋物線上運動，⊙P與兩坐標軸都相切時，求⊙P半徑R的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據B點的坐標即可得出A點的坐標，也就知道了OA的長，可在直角三角形OAD中，根據OA的長和∠OAD的度數求出OD的長，即可得出D點的坐標，進而可用待定系數法求出直線AD的解析式．
（2）本題的關鍵是求出C1的橫坐標，可過C1作x軸的垂線，由于∠ADO=∠AOC1=60°，因此可得出∠C₁DC=60°，因此可在構建的直角三角形中用BC的長和∠C₁DC的度數來求出C₁的坐標，進而可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）由于圓P與兩坐標軸都相切，如果設P點的坐標為（x、y），則有|x|=|y|，進而可聯立拋物線的解析式求出P點的坐標．也就得出了圓的半徑的長．
解答：解：（1）由已知得
OA=，∠OAD=30度．
∴OD=OA•tan30°==1，
∴A（0，），D（1，0）
設直線AD的解析式為y=kx+b．
把A，D坐標代入上式得：
，
解得：，
折痕AD所在的直線的解析式是y=-x+．

（2）過C₁作C₁F⊥OC于點F，
由已知得∠ADO=∠ADO₁=60°，
∴∠C₁DC=60°．
又∵DC=3-1=2，
∴DC₁=DC=2．
∴在Rt△C₁DF中，C₁F=DC₁•sin∠C1DF=2×sin60°=．
則DF=DC₁=1，
∴C₁（2，），而已知C（3，0）．
設經過三點O，C₁，C的拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，（a≠0）．
把O，C₁，C的坐標代入上式得：，
解得，
∴y=-x²+x為所求．

（3）設圓心P（x，y），則當⊙P與兩坐標軸都相切時，有y=±x．
由y=x，得-x²+x=x，解得x₁=0（舍去），．
由y=-x，得-x²+x=-x解得x₁=0（舍去），．
∴所求⊙P的半徑R=3-或R=3+．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、矩形的性質、解直角三角形、切線的性質等知識點．綜合性較強．