Question

【題目】某商店經營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元.調查發現：銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元. 設每件玩具的銷售單價上漲了x元時（x為正整數），月銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？

（3）每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=-10x2+130x+2300；（2）每件玩具的售價定為32元時，月銷售利潤恰為2520元；（3）每件玩具的售價定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤.最大的月利潤是2720元.

【解析】試題分析：（1）由題意可得一件玩具的利潤為（30+x-20）元，月銷量為（230-10x）,根據月利潤=一件玩具的利潤×月銷量即可求出函數關系式；

（2）把y=2520代入（1）中求得的函數解析式即可求得；

（3）把（1）中的解析式化為頂點式，求得當x=6.5時函數有最大值，再根據x的取值范圍以及x只能是正整數從而可得到x=6或x=7時y有最大值.

試題解析：（1）依題意得y=(30+x-20)(230-10x)=-10x2+130x+2300

自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數．

（2）當y=2520時，得-10x2+130x+2300=2520，解得x1=2，x2=11（不合題意，舍去）．

當x=2時，30+x=32．∴每件玩具的售價定為32元時，月銷售利潤恰為2520元．

（3）y=-10x2+130x+2300=-10(x-6.5)2+2722.5

∵a=－10＜0 ∴當x=6.5時，y有最大值為2722.5 ．∵0＜x≤10且x為正整數，∴當x=6時，30+x=36，y=2720， 當x=7時，30+x=37，y=2720．∴每件玩具的售價定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤．最大的月利潤是2720元．