Question

設PQ是邊長為1的正△ABC的外接圓內的一條弦．已知AB和AC的中點都在PQ上．那么，PQ的長等于________．

Answer 1

分析：設PD=x，EQ=y由相交弦定理得PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，代入求出x=y，再代入上式即可求出x的值，即PQ=2x+，代入即可求出答案．
解答：設PD=x，EQ=y，
∵AB和AC的中點都在PQ上，
∴D、E分別是AB、AC的中點，
∵正△ABC的邊長為1，
∴AD=BD=1，AE=CE=1，DE=BC=1，
由相交弦定理得：PD•DQ=AD•BD，AE•CE=EQ•PE，
即x（+y）=×y（+x）=×，
解得：x=y，
即；x（+x）=，
解得：x=-，
∴PQ=2×（-）+=．
故答案為：．
點評：本題主要考查了正多邊形與圓，相交弦定理，用公式法解一元二次方程等知識點，解此題的關鍵是利用相交弦定理求出PD和EQ的關系．