Question

如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為（0，-2），（0，8），以AB為一邊作正方形ABCD，再以CD為直徑的半圓P．設x軸交半圓P于點E，交邊CD于點F．
（1）求線段EF的長；
（2）連接BE，試判斷直線BE與⊙P的位置關系，并說明你的理由；
（3）直線BE上是否存在著點Q，使得以Q為圓心、r為半徑的圓，既與y軸相切又與⊙P外切？若存在，試求r的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A，B兩點坐標得出AB，CD的長，以及FD的長，再利用勾股定理求出即可；
（2）利用三角形的相似得出Rt△BOE∽Rt△EFP，進而得出∠OBE=∠FEP，求出∠BEP=90°即可；
（3）連接PQ，過Q作QM⊥y軸于M，交CD于N，用r表示出QN，NP，PQ，從而求出即可．

解答：解：（1）連接PE，
∵A，B兩點的坐標分別為（0，-2），（0，8），
以AB為一邊作正方形ABCD，再以CD為直徑的半圓P．
∴AB=CD=10，
∴PE=5，PF=3，
EF=

PE2-PF2

，
=

52-32

，
=4；

（2）證明：∵

BO

EF

=

8

4

=2， 

EO

PF

=

10-4

3

=2，∠BOE=∠EFP，
∴Rt△BOE∽Rt△EFP，
∴∠OBE=∠FEP，
∴∠OBE+∠OEB=90°，
?∠FEP+∠OEB=90°，
?∠BEP=90°，
∴相切；

（3）連接PQ，過Q作QM⊥y軸于M，交CD于N，
∵⊙Q與⊙P外切，
∴PQ=r+5，
∵⊙Q與y軸相切，
∴QM=r，
∴QN=MN-QM=10-r，
∵MQ∥OE?△BMQ∽△BOE?

BM

BO

=

MQ

OE

?BM=

8×r

6

=

4r

3

，
∴NP=NF-PF=MO-PF=BO-BM-PF=5-

4

3

r，
在Rt△QNP中，QN²+NP²=PQ²?(10-r)2+(5-

4r

3

)2=(5+r)2?16r²-390r+900=0，
解得：r=

195± 23625

16

=

195±15 105

16

．
故r的值為：

195±15 105

16

．

點評：此題主要考查了正方形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、相切兩圓的性質等知識，熟練地應用其性質用r表示出QN，NP，PQ是解題關鍵．