Question

18．如圖，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線．求證：AD•BC=CD•AB．

Answer 1

分析 根據弦切角定理得到∠ABP=∠PAD，由于∠APD=∠APB，推出△APD∽△APB，根據相似三角形的性質得到$\frac{AD}{AB}=\frac{PD}{PB}$，同理：$\frac{CD}{BC}=\frac{PD}{PB}$，等量代換得到$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即可得到結論．

解答 解：∵PA是⊙O的切線，
∴∠ABP=∠PAD，
∵∠APD=∠APB，
∴△APD∽△APB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{PD}{PB}$，
同理：$\frac{CD}{BC}=\frac{PD}{PB}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}$，
∴AD•BC=CD•AB．

點評 本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，弦切角定理，熟練掌握弦切角定理是解題的關鍵．