【題目】在平面直角坐標系xOy中,給出如下定義:
對于⊙C及⊙C外一點P,M,N是⊙C上兩點,當∠MPN最大時,稱∠MPN為點P關于⊙C的“視角”.
(1)如圖,⊙O的半徑為1,
①已知點A(0,2),畫出點A關于⊙O的“視角”;若點P在直線x=2上,則點P關于⊙O的最大“視角”的度數 ;
(2)在第一象限內有一點B(m,m),點B關于⊙O的“視角”為60°,求點B的坐標.
(3)若點P在直線y=﹣ x+2上,且點P關于⊙O的“視角”大于60°,求點P的橫坐標xP的取值范圍.
(4)⊙C的圓心在x軸上,半徑為1,點E的坐標為(0,1),點F的坐標為(0,﹣1),若線段EF上所有的點關于⊙C的“視角”都小于120°,直接寫出點C的橫坐標xC的取值范圍.
【答案】
(1)60o
(2)解: ∵點B關于⊙O的視角為60°,
∴BM與⊙O相切,且∠MBO=30°,
∴點B在以O為圓心,2為半徑的圓上,即OB=2,
∵B(m,m) (m>0),
∴OB= =
m=2,
∴m=
∴B( ,
);
(3)解: 如圖3,
∵點P關于⊙O的“視角”大于60°,
∴∠MPO>30°,
∴sin∠MPO= >sin30°,
∴OP<2,
∵點P不在⊙C上,
∴1<OP<2
∴點P在以O為圓心,1為半徑與2為半徑的圓環內,
∵點P在直線y= x+2上,
由圖4,
可得xp=0或xP=
∴0<xP<
(4)解: 如圖5,
①當點C在x軸正半軸時,
在線段EF上取一點P,當PM,PN都與⊙C相切時,∠MPN最大,當∠MPN=120°時,連接CP,
∴∠CPM=60°,
在Rt△PCM中,CM=1,sin∠CPM= =
=
,
∴CP= ,
∵線段EF上所有的點關于⊙C的“視角”都小于120°,
∴點P和原點O重合時,視角只要小于120°時,即可,OP最大=CP= ,
此時,滿足條件的xC
②當點C在x軸負半軸時,同①可得,xC<﹣ ,
即:滿足條件的xC 或xC<﹣
【解析】(1)解: 畫如圖1所示,
如圖2,當∠MPN最大時,此時PM與PN與⊙O相切,
∵⊙O的半徑為r=1,
∴sin∠MPO= ,
當OP最小時,此時sin∠MPO最大,即∠MPO最大,
∴sin∠MPO= ,
∴∠MPO=30°
∴∠MPN=2∠MPO=60°;
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【題目】如圖1,在平行四邊形中,點
是對角線
的中點,
過點
與
,
分別相交于
,
,
過點
與
,
分別相交于點
,
,連接
,
,
,
.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)如圖2,若,
,在不添加任何輔助的情況下,請直接寫出圖2中與四邊形
面積相等的所有的平行四邊形(四邊形
除外).
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【題目】在讀書月活動中,學校準備購買一批課外讀物,為使課外讀物滿足同學們的需求,學校就“我最喜愛的課外讀物”從文學、藝術、科普和其他四個類別進行了抽樣調查(每位同學只選一類),如圖是根據調查結果繪制的兩幅不完整的統計圖.
請你根據統計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調查中,一共調查了_____名同學;
(2)條形統計圖中,m=_____,n=_______;
(3)扇形統計圖中,藝術類讀物所在扇形的圓心角是______度;
(4)學校計劃購買課外讀物5000冊,請根據樣本數據,估計學校購買其他類讀物多少冊比較合理?
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【題目】一次函數y=﹣ x+b(b為常數)的圖象與x軸交于點A(2,0),與y軸交于點B,與反比例函數y=
的圖象交于點C(﹣2,m).
(1)求點C的坐標及反比例函數的表達式;
(2)過點C的直線與y軸交于點D,且S△CBD:S△BOC=2:1,求點D的坐標.
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【題目】已知:如圖,在Rt ABC中,,AB=5cm, AC=3cm, 動點P從點B出發沿射線BC以2cm/s 的速度移動,設運動的時間為t秒.t= __________ 時三角形ABP為直角三角形.
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【題目】已知如圖,∠COD=90°,直線AB與OC交于點B,與OD交于點A,射線OE與射線AF交于點G.若OE將∠BOA分成1︰2兩部分,AF平分∠BAD,∠ABO=(30°<
<90°) ,則∠OGA的度數為(用含
的代數式表示)____________________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l1的解析式為,直線l2的解析式為
,與x軸、y軸分別交于點A、點B,直線l1與l2交于點C.
(1)求點A、點B、點C的坐標,并求出△COB的面積;
(2)若直線l2上存在點P(不與B重合),滿足S△COP=S△COB,請求出點P的坐標;
(3)在y軸右側有一動直線平行于y軸,分別與l1,l2交于點M、N,且點M在點N的下方,y軸上是否存在點Q,使△MNQ為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出滿足條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】按要求作圖.(不寫作法,保留作圖痕跡)
(1)如圖1,點A在∠O的一邊上,在圖1中完成:
①過點A畫直線AB⊥OA,與∠O的另一邊相交于點B;
②過點B畫直線BC∥OA;
(2)如圖2,△ABC是鈍角三角形,在圖2中完成:
①畫△ABC的中線AD;
②畫△ABC的角平分線BE;
③畫△ABC的高線CF.
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