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【題目】在平面直角坐標系xOy中,給出如下定義:
對于⊙C及⊙C外一點P,M,N是⊙C上兩點,當∠MPN最大時,稱∠MPN為點P關于⊙C的“視角”.

(1)如圖,⊙O的半徑為1,
①已知點A(0,2),畫出點A關于⊙O的“視角”;若點P在直線x=2上,則點P關于⊙O的最大“視角”的度數 ;
(2)在第一象限內有一點B(m,m),點B關于⊙O的“視角”為60°,求點B的坐標.
(3)若點P在直線y=﹣ x+2上,且點P關于⊙O的“視角”大于60°,求點P的橫坐標xP的取值范圍.
(4)⊙C的圓心在x軸上,半徑為1,點E的坐標為(0,1),點F的坐標為(0,﹣1),若線段EF上所有的點關于⊙C的“視角”都小于120°,直接寫出點C的橫坐標xC的取值范圍.

【答案】
(1)60o
(2)解: ∵點B關于⊙O的視角為60°,

∴BM與⊙O相切,且∠MBO=30°,

∴點B在以O為圓心,2為半徑的圓上,即OB=2,

∵B(m,m) (m>0),

∴OB= = m=2,

∴m=

∴B( , );


(3)解: 如圖3,

∵點P關于⊙O的“視角”大于60°,

∴∠MPO>30°,

∴sin∠MPO= >sin30°,

∴OP<2,

∵點P不在⊙C上,

∴1<OP<2

∴點P在以O為圓心,1為半徑與2為半徑的圓環內,

∵點P在直線y= x+2上,

由圖4,

可得xp=0或xP=

∴0<xP


(4)解: 如圖5,

①當點C在x軸正半軸時,

在線段EF上取一點P,當PM,PN都與⊙C相切時,∠MPN最大,當∠MPN=120°時,連接CP,

∴∠CPM=60°,

在Rt△PCM中,CM=1,sin∠CPM= = = ,

∴CP= ,

∵線段EF上所有的點關于⊙C的“視角”都小于120°,

∴點P和原點O重合時,視角只要小于120°時,即可,OP最大=CP=

此時,滿足條件的xC

②當點C在x軸負半軸時,同①可得,xC<﹣

即:滿足條件的xC 或xC<﹣


【解析】(1)解: 畫如圖1所示,

如圖2,當∠MPN最大時,此時PM與PN與⊙O相切,

∵⊙O的半徑為r=1,

∴sin∠MPO= ,

當OP最小時,此時sin∠MPO最大,即∠MPO最大,

∴sin∠MPO= ,

∴∠MPO=30°

∴∠MPN=2∠MPO=60°;

練習冊系列答案
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