Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：
對于⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當∠MPN最大時，稱∠MPN為點P關于⊙C的“視角”．

（1）如圖，⊙O的半徑為1，
①已知點A（0，2），畫出點A關于⊙O的“視角”；若點P在直線x=2上，則點P關于⊙O的最大“視角”的度數 ；
（2）在第一象限內有一點B（m，m），點B關于⊙O的“視角”為60°，求點B的坐標．
（3）若點P在直線y=﹣ x+2上，且點P關于⊙O的“視角”大于60°，求點P的橫坐標xP的取值范圍．
（4）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，點E的坐標為（0，1），點F的坐標為（0，﹣1），若線段EF上所有的點關于⊙C的“視角”都小于120°，直接寫出點C的橫坐標xC的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）60o
（2）解: ∵點B關于⊙O的視角為60°，

∴BM與⊙O相切，且∠MBO=30°，

∴點B在以O為圓心，2為半徑的圓上，即OB=2，

∵B（m，m） （m＞0），

∴OB= = m=2，

∴m=

∴B（ ， ）；

（3）解: 如圖3，

∵點P關于⊙O的“視角”大于60°，

∴∠MPO＞30°，

∴sin∠MPO= ＞sin30°，

∴OP＜2，

∵點P不在⊙C上，

∴1＜OP＜2

∴點P在以O為圓心，1為半徑與2為半徑的圓環內，

∵點P在直線y= x+2上，

由圖4，

可得xp=0或xP=

∴0＜xP＜

（4）解: 如圖5，

①當點C在x軸正半軸時，

在線段EF上取一點P，當PM，PN都與⊙C相切時，∠MPN最大，當∠MPN=120°時，連接CP，

∴∠CPM=60°，

在Rt△PCM中，CM=1，sin∠CPM= = = ，

∴CP= ，

∵線段EF上所有的點關于⊙C的“視角”都小于120°，

∴點P和原點O重合時，視角只要小于120°時，即可，OP最大=CP= ，

此時，滿足條件的xC

②當點C在x軸負半軸時，同①可得，xC＜﹣ ，

即：滿足條件的xC 或xC＜﹣

【解析】（1）解: 畫如圖1所示，

如圖2，當∠MPN最大時，此時PM與PN與⊙O相切，

∵⊙O的半徑為r=1，

∴sin∠MPO= ，

當OP最小時，此時sin∠MPO最大，即∠MPO最大，

∴sin∠MPO= ，

∴∠MPO=30°

∴∠MPN=2∠MPO=60°；