Question

如圖1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點(點P與點B不重合)，連結AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ，連結QE并延長交射線BC于點F

(1)如圖2，當BP＝BA時，∠EBF＝________°，猜想∠QFC＝________°；

(2)如圖1，當點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數，并加以證明；

(3)已知線段AB＝，設BP＝x，點Q到射線BC的距離為y，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)30°　1分 　　＝60°　2分 　　(2)＝60°　1分 　　不妨設BP＞，如圖1所示 　　∵∠BAP＝∠BAE＋∠EAP＝60°＋∠EAP 　　∠EAQ＝∠QAP＋∠EAP＝60°＋∠EAP 　　∴∠BAP＝∠EAQ　2分 　　在△ABP和△AEQ中AB＝AE，∠BAP＝∠EAQ，AP＝AQ 　　∴△ABP≌△AEQ(SAS)　3分 　　∴∠AEQ＝∠ABP＝90°　4分 　　∴∠BEF 　　∴＝60°　5分 　　(事實上當BP≤時，如圖2情形，不失一般性結論仍然成立，不分類討論不扣分) 　　(3)在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G∵△ABE是等邊三角形 　　∴BE＝AB＝，由(1)得30°在Rt△BGF中， 　　∴BF＝ 　　∴EF＝2　1分 　　∵△ABP≌△AEQ 　　∴QE＝BP＝ 　　∴QF＝QE＋EF　2分 　　過點Q作QH⊥BC，垂足為H 　　在Rt△QHF中，(x＞0) 　　即y關于x的函數關系式是：　3分