Question

【題目】在等邊△ABC中，點E是AB上的動點，點E與點A、B不重合，點D在CB的延長線上，且EC=ED．

（1）如圖1，當BE=AE時，求證：BD=AE；

（2）當BE≠AE時，“BD=AE”能否成立？若不成立，請直接寫出BD與AE數理關系，若成立，請給予證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）AE=DB，理由見解析

【解析】

（1）由等邊三角形的性質得出AE=BE，∠BCE=30°，再根據ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，再證出∠D=∠DEB，得出DB=BE，從而證出AE=DB；

（2）作輔助線得出等邊三角形AEF，得出AE=EF，再證明三角形全等，得出DB=EF，證出AE=DB．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵AE=BE，△ABC是等邊三角形

∴∠BCE=30°，

∵ED=EC，

∴∠D=∠BCE=30°．

∵∠ABC=∠D+∠BED，

∴∠BED=30°，

∴∠D=∠BED，

∴BD=BE．

∴AE=DB．

（2）AE=DB；

理由：過點E作EF∥BC交AC于點F．如圖2所示：

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等邊三角形．

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

∵DE=EC，

∴∠D=∠ECD，

∴∠BED=∠ECF．

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF（AAS），

∴DB=EF，

∴AE=BD．