Question

（2005•包頭）已知一次函數y₁=x，二次函數y₂=x²+
（1）根據表中給出的x的值，填寫表中空白處的值；

（2）觀察上述表格中的數據，對于x的同一個值，判斷y₁和y₂的大小關系．并證明：在實數范圍內，對于x的同一個值，這兩個函數所對應的函數值y₁和y₂的大小關系仍然成立；
（3）若把y=x換成與它平行的直線y=x+k（k為任意非零實數），請進一步探索：當k滿足什么條件時，（2）中的結論仍然成立？當k滿足什么條件時，（2）中的結論不能對任意的實數x都成立？并確定使（2）中的結論不成立的x的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x的值代入二次函數解析式，可直接求出對應的y的值．
（2）通過觀察表中的數據，可得，y₁≤y₂，用y₂-y₁所得的式子進行分析，因為等于（x-1）²，不論x取何值，都有（x-1）²≥0，故有y₂-y₁≥0，即y₂≥y₁．
（3）解兩個函數解析式組成的方程組，得到關于x的一元二次方程，根據根的判別式進行分析，（△=8k），當k＜0時，一次函數的圖象在二次函數的圖象的下方，那么就有y₂≥y₁，而當k＞0，時，二次函數的圖象有一部分在一次函數圖象的上方，一部分在下方，故這種情況不能使（2）中的結論成立．
解答：解：（1）x=-3時，y₂=5；
x=-2時，y₂=；
x=2時，y₂=；
x=3時，y₂=5．

（2）y₁≤y₂
∵y₂-y₁=（x²+）-x=（x-1）²
又∵x取任意實數時，都有（x-1）²≥0，
∴y₂≥y₁對任意的實數x都成立．

（3）由，
得x²+=x+k，
即x²-2x+1-2k=0 ①
方程①的判別式△=4-4（1-2k）=8k，（k≠0）
①當k＜0時，方程①無實數根，
即直線y=x+k與拋物線無交點，且直線在拋物線的下方，此時（2）中的結論仍然成立．
②當k＞0時，方程①有兩個不相等的實數根：x₁=1-，x₂=1+，
即直線與拋物線有兩個不同的交點，此時拋物線上有一部分點在直線的下方，
所以（2）中的結論不能對任意的x都成立．
當1-＜1+時，（2）中的結論不成立．
點評：本題利用了任何一個數的平方都是一個非負數，解方程組，一元二次方程根的判別式等知識．